പഠിച്ചു മിടുക്കരാകാം

ഇത് അറിവ്‌ പങ്കുവെക്കാനുള്ള ഒരു വേദിയാണ്.നിങ്ങള്‍ക്ക് അറിയാന്‍ ആഗ്രഹമുള്ള പഠനസംബന്ധമായ ഏതു വിഷയവും ഇവിടെ കമന്റ് ചെയ്താല്‍ മതി.ഞാന്‍ പരമാവധി വേഗത്തില്‍ ആ വിഷയത്തില്‍ പ്രതികരിക്കാം. കൂടാതെ അഭിപ്രായങ്ങളും നിര്‍ദ്ദേശങ്ങളും കൂടി പറയണേ.....

ത്രികോണമിതി പഠിക്കാം


ഭൂമിയിലെ വൃക്ഷങ്ങളുടെയും മലകളുടെയും ഉയരവും നദികളുടെ വീതിയും വിദൂര നക്ഷത്രങ്ങളിലേക്കുള്ള ദൂരങ്ങള്‍ വരെ അളക്കെണ്ടി വരുന്ന സന്ദര്‍ഭങ്ങളിലെല്ലാം ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര ശാഖയാണ് ത്രികോണമിതി.ഇത്രയേറെ നിത്യജീവിതത്തില്‍ ഉപയോഗങ്ങളുള്ള ഈ പാഠം തുടക്കക്കാര്‍ക്ക്‌ ഒരു കീറാമുട്ടിയാണ് (അനുഭവം ഗുരു).എന്നാല്‍ 10 ആം ക്ലാസ്സ്‌ കഴിഞ്ഞു ഇനി അങ്ങോട്ടുള്ള ഗണിതത്തില്‍ മുഴുവന്‍ ത്രികോണമിതി നിറഞ്ഞു നില്‍ക്കുന്നു.അതുകൊണ്ട് തന്നെ ഈ ആറുതലയന്‍ ഭൂതത്തെ ഇവിടെ വച്ചുതന്നെ കൈപ്പിടിയില്‍ ഒതുക്കേണം.ത്രികോണമിതിയിലെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങള്‍ മാത്രമേ പത്താം തരത്തില്‍ പഠിക്കുന്നുള്ള്‌ു.അവ നന്നായി മനസിലാക്കിയാല്‍ തന്നെ പരീക്ഷക്ക്‌ നല്ല മാര്‍ക്ക്‌ കിട്ടുന്നതിനോപ്പം ഭാവിയിലേക്ക് നല്ലൊരു മുതല്ക്കൂട്ടുമാകും.
ത്രികോണമിതി എന്നാല്‍ ത്രികോണത്തിന്റെ അളവുകള്‍ എന്നാണര്‍ത്ഥം, അതായത്‌ ത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങളും അവയുടെ കോണുകളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധം വിവരിക്കുന്ന ഗണിതശാസ്ത്രശാഖ.ത്രികോണമിതി പ്രധാനമായും മട്ടത്രികോണങ്ങളില്‍ ആണ് നാം ഉപയോഗിക്കുന്നത്.ഒരു മട്ടത്രികോണത്തില്‍ ഒരു കോണ്‍ 900 ആണെന്നും അവയിലെ മറ്റൊരു കോണ്‍ കൂടി ലഭിച്ചാല്‍ മൂന്നാമത്തെ കോണ്‍ കാണാനും നമുക്കറിയാം, ഇല്ലേ?ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം.
ഒരു മട്ടത്രികോണത്തിലെ ഒരു കോണ്‍ 300 ആണെങ്കില്‍ ത്രികോണത്തിലെ കോണുകള്‍ കാണുക.
ഉത്തരം: മട്ടത്രികോണങ്ങളില്‍ ഒരു കോണ്‍ 900 ആയിരിക്കും. രണ്ടാമത്തെ കോണ്‍ 300 എന്ന് തന്നിട്ടുണ്ട്.പക്ഷെ ഏതൊരു ത്രികോണത്തിലെയും ആന്തരകോണ്ളുടെ തുക 1800 ആയിരിക്കും.
മൂന്നാമത്തെ കോണ്‍ X ആയാല്‍ ,
90 + 30 + X = 180
120 + X = 180
X = 180 – 120
  = 60
അതായത്‌ ത്രികോണത്തിലെ കോണുകള്‍ 900,600,300

ത്രികോണമിതിയില്‍ ത്രികോണങ്ങളുടെ വശങ്ങളും അവയുടെ കോണുകളും തമ്മിലുള്ള ബന്ധമാണ് പഠിക്കുന്നത്.ഒരു മട്ട ത്രികോണത്തില്‍ ത്രികോണം PQR യില്‍ 
ഒരു ആന്തരകോണ്‍ A ആണെങ്കില്‍ അതിനെതിരയുള്ള വശമാണ് PQ ഇതിനെ നാം A യുടെ എതിര്‍ വശം എന്ന് വിളിക്കുന്നു.അതുപോലെ A യുടെ സമീപവശമാണ് QR.ത്രികോണത്തിലെ 900 ക്ക് എതിരായുള്ള വശത്തെ കര്‍ണ്ണം എന്നും വിളിക്കുന്നു.ഈ വശങ്ങളും കോണ്‍ A യും തമ്മില്‍ നമുക്ക്‌ ചില ബന്ധങ്ങള്‍ ഉണ്ടാക്കാന്‍ പറ്റും.

A യുടെ എതിര്‍ വശത്തെ കര്‍ണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിക്കുമ്പോള്‍ കിട്ടുന്ന ബന്ധത്തെ നാം A യുടെ സൈന്‍ (sine) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.ഇതിനെ sinA എന്ന് എഴുതാം.

അതായത്‌, sinA =  Aയുടെ എതിര്‍വശം / കര്‍ണ്ണം = PQ / PR

ഇതുപോലെ A യുടെ സമീപവശത്തെ കര്‍ണ്ണം കൊണ്ട് ഹരിച്ചാല്‍ കിട്ടുന്ന ബന്ധത്തെ A യുടെ കൊസൈന്‍ (cosine) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.ഇതിനെ cosA എന്ന് എഴുതാം.

അതായത്‌, cosA = Aയുടെ സമീപവശം / കര്‍ണ്ണം = QR / PR

A യുടെ എതിര്‍വശത്തെ സമീപവശം കൊണ്ട് ഹരിക്കുംപോഴും നമുക്ക്‌ ഒരു ബന്ധം കിട്ടും.ഇതിനെ A യുടെ ടാന്‍ജന്റ് (tangent) എന്ന് വിളിക്കുന്നു.ഇതിനെ tanA  എന്ന് എഴുതുന്നു.

അതായത്‌, tanA =   Aയുടെ എതിര്‍വശം / Aയുടെ സമീപവശം = PQ / QR

നമുക്ക്‌ ഇനി sinA, cosA, tanA എന്നിവ തമ്മിലുള്ള ബന്ധം പരിശോധിക്കാം.

               sinA / cosA = (Aയുടെ എതിര്‍വശം / കര്‍ണ്ണം) / (Aയുടെ സമീപവശം / കര്‍ണ്ണം)

                        = Aയുടെ എതിര്‍വശം / Aയുടെ സമീപവശം

                        = tanA

അതായത്‌ tanA = sinA / cosA

ഇതുപോലെ sinA, cosA, tanA എന്നിവയുടെ വ്യൂല്‍ക്രമം കണ്ടാല്‍ യഥാക്രമം cosecA , secA , cotA എന്നിവ ലഭിക്കും അതായത്‌

cosecA = 1 / sinA = കര്‍ണ്ണം / Aയുടെ എതിര്‍വശം = PR / PQ

secA  =  1 / cosA = കര്‍ണ്ണം / Aയുടെ സമീപവശം = PR / QR

tanA  = 1 / tan A =  Aയുടെ സമീപവശം / Aയുടെ എതിര്‍വശം = QR / PQ

ഈ ബന്ധങ്ങള്‍ കൂടാതെ ഇവയെ എല്ലാം പരസ്പരം ബന്ധിപ്പിച്ചുകൊണ്ട് 3 സമവാക്യങ്ങള്‍ കൂടി ഉണ്ട്. അവയും ഇവിടെ നല്‍കുന്നു.

(sinA)2   നെ നമുക്ക്‌ sin2A എന്ന് എഴുതാം,അതായത് (sinA)2 =   sin2A

1) sin2A + cos2A = 1

ഇത് ഇങ്ങനെ തെളിയിക്കാം. sinA = (Aയുടെ എതിര്‍വശം / കര്‍ണ്ണം)

                         sin2A = (Aയുടെ എതിര്‍വശം / കര്‍ണ്ണം)2

                         cosA = (Aയുടെ സമീപവശം / കര്‍ണ്ണം)

                         cos2A = (Aയുടെ സമീപവശം / കര്‍ണ്ണം)2

അതുകൊണ്ട് sin2A + cos2A = (Aയുടെ എതിര്‍വശം / കര്‍ണ്ണം)2 + Aയുടെ സമീപവശം / കര്‍ണ്ണം)2

                       = (Aയുടെ എതിര്‍വശം2 + Aയുടെ സമീപവശം2) / (കര്‍ണ്ണം)2

ഒരു മട്ടത്രികോണത്തില്‍ (Aയുടെ എതിര്‍വശം2 + Aയുടെ സമീപവശം2) = (കര്‍ണ്ണം)2 ആണല്ലോ ,

                                      = (കര്‍ണ്ണം)2 / (കര്‍ണ്ണം)2

                       = 1

ഇതുപോലെ 2 ബന്ധങ്ങള്‍ കൂടിയുണ്ട്.അവ താഴെ നല്‍കാം,മുകളില്‍ ചെയ്തതുപോലെ തെളിയിക്കാന്‍ ശമിച്ചു നോക്കൂ.....

1 + tan2A = sec2A

1+cot2A = cosec2A

ഈ കാര്യങ്ങള്‍ കൂടി ഓര്‍മിച്ചാല്‍ നമുക്ക്‌ വളരെ വേഗത്തില്‍ കണക്കുകള്‍ ചെയ്യാന്‍ പറ്റും.

ഒരു 900,450.450 മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള അനുപാതം 2 : 1 : 1 ആയിരിക്കും.അതായത് അവയിലെ 2 വശങ്ങള്‍ തുല്യവും കര്‍ണ്ണം അവയുടെ 2 മടങ്ങും ആയിരിക്കും.

ഒരു 900,600.300 മട്ടത്രികോണത്തിന്റെ വശങ്ങള്‍ തമ്മിലുള്ള അനുപാതം 2 : 3 : 1 ആയിരിക്കും.അതായത്‌ ചെറിയ വശത്തിന്റെ 3 മടങ്ങായിരിക്കും രണ്ടാമത്തെ വശം.എന്നാല്‍ കര്‍ണ്ണം ചെറിയ വശത്തിന്റെ 2 മടങ്ങായിരിക്കും.

ത്രികോണമിതിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട കുറച്ച് ചോദ്യങ്ങളാണ് ഇവിടെ.ഇവ പരിശീലിച്ചു നോക്കൂ...കൂടുതല്‍ ചോദ്യങ്ങളുമായി ഞാന്‍ ഉടനെ എത്താം.

ചോദ്യങ്ങള്‍ 

1.ചിത്രത്തില്‍ < ABD = < BDC = 900,<C =450,<A = 300 ,CD = 10 സെ മി ആയാല്‍ BD എന്ന വിക്ര്ന്നത്ത്തിന്റെ നീളം എന്ത്?BC,AB എന്നീ വശങ്ങളുടെ നീളങ്ങള്‍ എഴുതുക.                       SSLC 2010

 
2.മട്ടത്രികോണം ABC യില്‍ <B = 900,tanA = 5/12 sinA , cosA , sin2A + cos2A എന്നിവയുടെ വില കാണുക

                                               SSLC 2010


3.sinX = 12 /13 ആയാല്‍ ,cosX , tanX , sec X എന്നിവയുടെ വിലകാണുക.

2 comments:

niyas ramapuram പറഞ്ഞു...

ഉപകാരപ്രദമായ ഒരു പോസ്റ്റ്.

കൂടുതല്‍ പ്രവര്‍ത്തനങ്ങൾ ഉൾകൊള്ളിച്ചാൽ നന്നായിരിക്കും

niyas ramapuram പറഞ്ഞു...

ഉപകാരപ്രദമായ ഒരു പോസ്റ്റ്.

കൂടുതല്‍ പ്രവര്‍ത്തനങ്ങൾ ഉൾകൊള്ളിച്ചാൽ നന്നായിരിക്കും

ഒരു അഭിപ്രായം പോസ്റ്റ് ചെയ്യൂ