പഠിച്ചു മിടുക്കരാകാം

ഇത് അറിവ്‌ പങ്കുവെക്കാനുള്ള ഒരു വേദിയാണ്.നിങ്ങള്‍ക്ക് അറിയാന്‍ ആഗ്രഹമുള്ള പഠനസംബന്ധമായ ഏതു വിഷയവും ഇവിടെ കമന്റ് ചെയ്താല്‍ മതി.ഞാന്‍ പരമാവധി വേഗത്തില്‍ ആ വിഷയത്തില്‍ പ്രതികരിക്കാം. കൂടാതെ അഭിപ്രായങ്ങളും നിര്‍ദ്ദേശങ്ങളും കൂടി പറയണേ.....

അറബിയും ഒട്ടകവും പിന്നെ രാസത്വരകങ്ങളും

അറബിയെയും ഒട്ടകത്തെയും പറ്റി ധാരാളം കഥകള്‍ നാം കേട്ടിട്ടുണ്ട്. കണ്ണെത്താ ദൂരത്തില്‍ നീണ്ടു പറന്നു കിടക്കുന്ന മണലാരണ്യത്തില്‍ ദീര്‍ഘയാത്ര ചെയ്യുവാന്‍ അറബികള്‍ ഒട്ടകത്തെയാണ് ആശ്രയിച്ചിരുന്നത്. ഒട്ടകങ്ങള്‍ അറബിയുടെ സന്തത സഹചാരിയായിരുന്നു.കൈവശമുള്ള ഭൂമിയുടെ അളവനുസരിച്ച് നാം സ്വത്ത്‌ കണക്കാക്കുന്നതുപോലെ ഒരു കാലത്ത്‌ ഒട്ടകങ്ങളുടെ എണ്ണംനോക്കി അറബികള്‍ സ്വത്ത്‌ നിര്ണ്ണയിചിരുന്നു. നമ്മുടെ കഥ ഇക്കാലത്ത്‌ നടന്നതാണെ....

ധനികനായ ഒരു അറബിയുടെ വില്പത്രമനുസരിച്ച് അയാളുടെ ഒട്ടകങ്ങളുടെ നേര്‍ പകുതി മൂത്തമകനും , മൂന്നിലൊന്ന്  രണ്ടാമത്തെ മകനും, ഒന്‍പതില്‍ ഒരു ഭാഗം മൂന്നാമനും വിഭജിക്കണം.മരണസമയത്ത്‌ അറബിക്ക് പതിനേഴ് ഒട്ടകങ്ങള്‍ സ്വന്തമായുണ്ടായിരുന്നു.ഈ ഒട്ടകങ്ങളെ വില്പത്രമനുസരിച്ച് വിഭജിക്കുന്ന കാര്യമോര്‍ത്ത് പുത്രന്മാര്‍ വിഷമത്തിലായി . ഒട്ടകങ്ങളെ മുറിച്ച് അച്ചന്റെ ഇംഗിതം നിറവേറ്റുന്നത് മൂഢത്വമാണെന്നു അവര്‍ക്കറിയാമായിരുന്നു.

ഈ സമയത്ത്‌ യാദൃശ്ചികമായി അച്ചന്റെ പഴയ സുഹൃത്തായ ഒരു വൃദ്ധന്‍ അവിടെ എത്തിച്ചേര്‍ന്നു. പുത്രന്മാര്‍ അവരുടെ പ്രശ്നം വൃദ്ധനെ അറിയിച്ചു . അയാള്‍ അല്‍പനേരം ആലോചിച്ചിട്ടു പറഞ്ഞു:

"കുട്ടികളെ ഞാന്‍ എന്റെ ഒട്ടകത്തെക്കൂടി നിങ്ങളുടെ അച്ചന്റെ പതിനേഴ് ഒട്ടകത്തിനൊപ്പം നിങ്ങള്ക്ക് തരുന്നു. അപ്പോള്‍ നിങ്ങള്‍ക്കിപ്പോ ആകെ പതിനെട്ട് ഒട്ടകങ്ങളുണ്ട്.ഇതിന്റെ പകുതിയായ ഒന്‍പത് ഒട്ടകങ്ങളെ മൂത്തമകന്‍ എടുത്തോട്ടെ.രണ്ടാമന്‍ മൂന്നിലൊരു ഭാഗമായ ആറ്‌ ഒട്ടകങ്ങളെ സ്വന്തമാക്കുക , മൂന്നാമന്‍ ഒന്പതിലൊരു ഭാഗമായ രണ്ടു ഒട്ടകങ്ങളെയും. അങ്ങനെ പതിനേഴ് ഒട്ടകങ്ങള്‍ നിങ്ങള്‍ക്ക്‌ കിട്ടി.ഒരെണ്ണം ബാക്കിയുണ്ട്.അത് എന്റേതും,നിങ്ങള്‍ക്ക്‌ നന്ദി "

ഒറ്റനോട്ടത്തില്‍ അസാധ്യമെന്നു തോന്നിയ ഒരു പ്രശ്നത്തിന്റെ കുരുക്കുകളഴിച്ച സന്തോഷത്തോടെ വൃദ്ധന്‍ തന്റെ ഒട്ടകത്തില്‍ കയറി മടക്കയാത്ര തുടര്‍ന്നു.

ബുദ്ധിമാനായ വൃദ്ധന്‍ അല്ലെ ?കഥ കഴിഞ്ഞു, ഇനി അല്പം കാര്യമാണ്.ഈ കഥയില്‍ അറബിയുടെ റോള്‍ എന്താണ് ? തന്റെ ഒട്ടകവുമായി വന്ന് പന്കുവെക്കലില് ഭാഗമായി.എന്നാല്‍ പങ്കുവെക്കലിനുശേഷം യാതൊരു മാറ്റവും ഇല്ലാതെ പഴയപോലെ തന്നെ നില്‍ക്കുന്നു.രാസപ്രവര്ത്തനങ്ങളിലെ ഉല്‍പ്രേരകങ്ങളെ കുറിച്ച് കേട്ടിട്ടുണ്ടോ ?അതേ ധര്‍മം തന്നെ അല്ലേ അറബിയും ചെയ്തത്.രാസപ്രവര്ത്തങ്ങളില്‍ ഏര്‍പ്പെടാതെ രാസപ്രവര്ത്തനത്ത്തിന്റെ വേഗത നിയന്ത്രിക്കുന്ന രാസവസ്തുക്കളാണ് ഉത്പ്രേരകങ്ങള്‍.ചില രാസ പ്രവര്‍ത്തങ്ങള്‍ വളരെ സാവധാനമേ നടക്കുകയുള്ളൂ,എന്നാല്‍ ഇവയുടെ വേഗത കൂട്ടണമെന്കില്‍  ഉല്‍പ്രേരകങ്ങള്‍ ഉപയോഗിച്ചാല്‍ മതി. അവ രാസപ്രവര്‍ത്തനത്തില്‍ ഏര്‍പ്പെടാതെ അതിന്റെ വേഗത വര്‍ധിപ്പിക്കും.എന്നാല്‍ ചില സന്ദര്ഭങ്ങളില്‍ വളരെ വേഗത്തില്‍ നടക്കുന്ന രാസപ്രവര്ത്തനങ്ങലുടെ വേഗത   കുറകക്കേണ്ടതായും വരും. ഈ സന്ദര്‍ഭങ്ങളിലും അനുയോജ്യമായ ഉളപ്രേരകങ്ങള്‍ ഉപയോഗിക്കാം.രാസപ്രവര്‍ത്തനത്തിനു ശേഷം യാതൊരു മാറ്റവും ഇല്ലാതെ ഇവയെ നമുക്ക്‌ പഴയ സ്ഥലത്തുതന്നെ വെക്കാം,ഇനി പറയൂ മുകളിലെ പ്രശനത്ത്തിലെ ഉല്‍പ്രേരകമല്ലേ ആ ബുദ്ധിമാനായ വൃദ്ധന്‍ ?

വിരോധാഭാസങ്ങള്‍

എന്താണ് വിരോധാഭാസങ്ങള്‍ ? ഇതുവരെ കേട്ടിട്ടുണ്ടോ?ചില വിരുതന്മാര്‍  ചോദ്യങ്ങള്‍ ചോദിച്ച് നമ്മെ കുഴക്കാറില്ലേ ? (ഉദാ:മാങ്ങയാണോ അതോ അതിന്റെ അണ്ടിയാണോ (വിത്ത്‌) ആദ്യം ഉണ്ടായത്‌.) അതുതന്നെ പരിപാടി.സ്വീകാര്യം എന്ന് ബാഹ്യമായി തോന്നിക്കുന്ന പ്രസ്താവനകളില്‍ നിന്ന്, എത്തിച്ചേരുന്ന അസ്വീകാര്യമായ നിഗമനങ്ങളെയാണ് വിരോധാഭാസം എന്ന് വിളിക്കുന്നത്.ഒരു പ്രശ്നത്തില്‍ അസാധ്യമായ ഉത്തരങ്ങളെല്ലാം തള്ളിക്കളയുമ്പോള്‍ മാത്രമാണ് നമുക്ക്‌ ശരിയുത്തരങ്ങള്‍ കിട്ടുക. വിരോധാധാസങ്ങളെ   നമുക്ക്‌ രണ്ടു രീതിയില്‍ വിശകലനം ചെയ്യാം.പറഞ്ഞത്‌ ശരിയാണ് എന്നംഗീകരിച്ച്ചുകൊണ്ട് വിശകലനം ചെയ്യുമ്പോള്‍ തെറ്റാണ് എന്നാകും തോന്നിക്കുക.മറിച്ച് തെറ്റാണ് എന്ന വിശ്വാസത്തോടെ വിശകലനം ചെയ്യുമ്പോള്‍ ,ശരിയാണ് എന്ന് തോന്നിക്കുകയും ചെയ്യും.എന്നാല്‍ എവിടെയോ എന്തോ പാളിച്ചകള്‍ മറഞ്ഞുകിടക്കുന്നു എന്നതാണ് യാഥാര്‍ത്ഥ്യം.

നാം കളിയായി ഒരുപാട് വിരോധാഭാസങ്ങള്‍ക്ക് ഉത്തരം തേടി നടന്നിട്ടുണ്ട്. ചില വിരോധാഭാസങ്ങള്‍ താഴെ നല്‍കാം. ചിന്തിച്ചു ഉത്തരം കണ്ടെത്തി  കമന്റ് ചെയ്യു............

  • അതി മനോഹരമായ ഒരു രാജ്യത്തെ രാജാവ്‌ ,വിദേശങ്ങളില്‍ നിന്നും വരുന്നവരോട് ആഗമനോദ്ദേശം നിര്‍ബന്ധമായും അന്വേഷിക്കണമെന്ന് കല്‍പ്പന പുറപ്പെടുവിച്ചു.സത്യം പറയുന്നവര്‍ക്കും കളളം പറയുന്നവര്‍ക്കും പ്രവേശനം അനുവദിച്ചിട്ടുണ്ട്.സത്യം പറയുന്നവരെ ,സന്ദര്‍ശനത്തിനു ശേഷം അവരുടെ ആഗ്രഹം നിറവേറ്റി ആദരപൂര്‍വം പുറത്തുവിടും.അസത്യം പറയുന്നവരുടെ ആഗ്രഹം നിരവേററ്തെ  പുറത്തെക്കിറങ്ങുമ്പോള്‍ തലവെട്ടിക്കളയണം എന്നും ഉത്തരവുണ്ട്.ഒരിക്കല്‍ ഒരു വിദ്വാനോട് അഗമനോദ്ദേശം ചോദിച്ചപ്പോള്‍ ഇങ്ങനെ പറഞ്ഞു "എന്റെ തല വെട്ടിക്കളഞ്ഞു കിട്ടുവാനാണ് ഞാന്‍ ഇവിടെക്ക് വരുന്നത് ".ആ വിദ്വാന് എന്താണ് സംഭവിക്കുക എന്ന് പറയാമോ?
  • ഒരിക്കല്‍  ഒരാള്‍ പറഞ്ഞു "ഞാന്‍ പറയുന്നത് കള്ളമാണ്",എങ്കില്‍ അദ്ദേഹം പറഞ്ഞത്‌ കള്ളമാണോ അതോ സത്യമോ ?
  •  ഒരു ഗ്രാമത്തിലെ ഏക ബാര്‍ബര്‍ സ്വയം ഷേവ്‌ ചെയ്യാത്തവരെ മാത്രം,സ്വയം ഷേവ്‌ ചെയ്യാത്ത എല്ലാവരെയും  ഷേവ്‌ ചെയ്യും  എന്ന് ശപഥം ചെയ്തു.അപ്പോള്‍ അയാള്‍  സ്വയം ഷേവ്‌ ചെയ്യുമോ?
  •  എല്ലാം സൃഷ്ടിക്കാന്‍ കഴിവുള്ള  സര്‍വശക്തനായ പോന്നു തമ്പുരാന് , സ്വയം തള്ളിനീക്കാന്‍ പറ്റാത്ത ഒരു പാറ സൃഷ്ടിക്കാന്‍ കഴിയുമോ?
ഈ  വിരോധാഭാസങ്ങളൊക്കെ പല ഗണിത്ജ്ഞ്രും കണ്ടെത്തി അവതരിപ്പിച്ചിട്ടുള്ളവയാണ്.ഇവ കൂടാതെ മറ്റൊരു തരത്തിലുള്ള വിരോധാഭാസങ്ങളുണ്ട്.അവ വഴിയാണ് നാം ചിലപ്പോള്‍ 1=2 എന്നൊക്കെ തെളിയിക്കാറുള്ളത്‌.എന്നാല്‍ ഇങ്ങനെയുള്ള ഫലങ്ങള്‍ കിട്ടുന്നത് ഗണിതനിയമങ്ങള്‍ക്ക് വിരുദ്ധമായ ചില ക്രിയകള്‍ ചെയ്യുമ്പോളാണ് (ഉദാ:പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഹരണം) .ആരെങ്കിലും ഇങ്ങനെയൊരു കളിയുമായി വന്നാല്‍ വര്‍ഗമൂലം,ഹരണം എന്നിങ്ങനെയുള്ള ഭാഗങ്ങള്‍ പരിശോധിക്കണം.കളിയിലെ കുഴപ്പം പലപ്പോഴും അവിടങ്ങളില്‍ ആയിരിക്കും.

ഒരു ഉദാഹരണം നോക്കാം. x = 2 എന്നിരിക്കട്ടെ,രണ്ടുവശത്തും (x-1) കൊണ്ട് ഗുണിക്കുന്നു ,

x (x-1) = 2 (x-1)

അതായത്‌ ,

x2-x = 2x-2

രണ്ടു  വശത്തുനിന്നും x കുറച്ചാല്‍ ,

x2-2x = 2x-2-x

x (x-2) = x-2

 അതായത്‌ x = (x-2) / (x-2) =1

എന്നാല്‍ x = 2 വന്നു തന്നിട്ടുണ്ട്,അതുകൊണ്ട് x =1 =2,  ഇതെങ്ങനെ ?

ഉത്തരം. : നാം x-2  കൊണ്ട് ഹരിച്ചില്ലേ? x=2 ആയാല്‍ x-2 =0 അല്ലേ ? പൂജ്യം കൊണ്ടുള്ള ഹരണം ഗണിതത്തില്‍ നിര്‍വചിച്ചിട്ടില്ല.ഇപ്പൊ പിടികിട്ടിയോ?




 
    





 

ബേപ്പൂര്‍ സുല്‍ത്താന്‍ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്‍ ?

ബേപ്പൂര്‍ സുല്‍ത്താനെ അറിയാത്ത മലയാളി-കള്‌ുണ്ടോ? ജീവിത ഗന്ധിയായ അനേകം കഥകളിലൂടെ നമ്മുടെ മനസുകളെയെല്ലാം കീഴടക്കിയ വൈക്കം മുഹമ്മദ്‌ ബഷീര്‍ എന്ന ആ സാഹിത്യകാരന്‍ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനാണോ? ഇതുവരെ അങ്ങനെയൊന്നും കേട്ടിട്ടില്ലേ?എങ്കില്‍ കേട്ടോളൂ..........
ബഷീറിന്റെ  ബാല്യകാലസഖി എന്ന നോവലില്‍ അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഗണിതജ്ഞാനം വ്യക്തമാകുന്നുണ്ട്.എങ്ങനെ എന്നല്ലേ? ബഷീറിന്റെ നോവലില്‍ നായികാ നായകന്മാരായ സുഹറയും മജീദും ഒരേ ക്ളാസ്സില്‍ ആയിരുന്നു.സുഹറ കണക്കില്‍ മിടുക്കിയായിരുന്നു.

ബഷീറിന്റെ ഭാഷയില്‍ പറഞ്ഞാല്‍ "വാധ്യാര്‍ അവളെ പുകഴ്ത്തുകയും മജീദിനെ അടിക്കുകയുമായിരുന്നു പതിവ്‌. കണക്കുകളെ സംബന്ധിച്ചടത്തോളം മജീദിന് ആകപ്പാടെ കുഴപ്പമാണ്.എത്ര ശ്രമിച്ചാലും ഒന്നും ശരിയാകുന്നില്ല. മണ്ടശിരോമണി എന്നാണു മജീദിനെ വാധ്യാര്‍ വിളിക്കുക"

"ഒന്നും ഒന്നും എത്ര?"

ഒരു  ദിവസം അദ്ധ്യാപകന്‍ മജീദിനോട് ചോദിച്ചു.


"ഇമ്മിണി ബല്യ ഒന്ന്"

മജീദിന്റെ  മറുപടി

ബഷീറിന്റെ ഭാഷയില്‍ "അങ്ങനെ കണക്ക് ശാസ്ത്രത്തില്‍ ഒരു പുതിയ തത്വം കണ്ടുപിടിച്ചതിനു മജീദിനെ അന്ന് വാധ്യാര്‍ ബന്ചില്‍ കയറ്റി നിര്‍ത്തി". എന്നാല്‍ ആ ഉത്തരം പറയുന്നതിന് മുമ്പേ മജീദ്‌ ആലോചിച്ചു.രണ്ടു ചെറിയ നദികള്‍ ചേര്‍ന്ന് കുറച്ചുകൂടി വലിയ ഒരു നദിയായി ഒഴുകുന്നു. അതുകൊണ്ട് ഒന്നും ഒന്നും ചേര്‍ന്നാല്‍ ഇമ്മിണി ബല്യ ഒന്ന് .മജീദ്‌ ചിന്തിച്ചതില്‍ എന്തെങ്കിലും തെറ്റുണ്ടോ?

 ഇനിയാണ് കഥയിലെ ട്വിസ്റ്റ്‌ ,മജീദ്‌ ചിന്തിച്ചതുപോലെ ചിന്തിച്ചാല്‍ അത് കണക്ക് ശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു പുതിയ തത്വം തന്നെയാണ്.ബൂളിയന്‍ ബീജഗണിതം (boolean Algebra) എന്ന ഗണിതശാസ്ത്രശാഖ ഇങ്ങനെയാണ്.ഇവിടെ 1+1=1 തന്നെയാണ്.രണ്ടു നദികള്‍ ചേര്‍ന്ന് ഒരു വലിയ നദി ആകുന്നുവെന്ന ഭൌതിക സ്വഭാവം തന്നെയാണ് ഈ തത്വത്തിനു പിന്നിലെ അടിസ്ഥാന വസ്തുത.ഇതു വെറുതെ ഉണ്ടാക്കിയ ഒരു ഗണിതശാഖയാണെന്നു കരുതല്ലേ.... ഇന്ന് പല മേഖലകളിലും ഉപയോഗപ്പെടുത്തുന്ന ഇലക്ട്രോണിക് സര്‍ക്യൂട്ടുകളില്‍ ഈ തത്വം പ്രയോജനപ്പെടുത്തുന്നുണ്ട് (ലോജിക്‌ സ്വിച്ചിംഗ് സര്‍ക്യൂട്ടുകള്‍).

ഇനി  പറയൂ,ബഷീര്‍ ഒരു ഗണിതജ്ഞന്‍ തന്നെയല്ലേ?