പഠിച്ചു മിടുക്കരാകാം

ഇത് അറിവ്‌ പങ്കുവെക്കാനുള്ള ഒരു വേദിയാണ്.നിങ്ങള്‍ക്ക് അറിയാന്‍ ആഗ്രഹമുള്ള പഠനസംബന്ധമായ ഏതു വിഷയവും ഇവിടെ കമന്റ് ചെയ്താല്‍ മതി.ഞാന്‍ പരമാവധി വേഗത്തില്‍ ആ വിഷയത്തില്‍ പ്രതികരിക്കാം. കൂടാതെ അഭിപ്രായങ്ങളും നിര്‍ദ്ദേശങ്ങളും കൂടി പറയണേ.....

വൃത്തവും ചതുരവും -ഉത്തരം

r ആരവും O കേന്ദ്രവുമായി  വൃത്തം PQR വരയ്ക്കുക.PR ഇതിന്റെ വ്യാസമാണ്.H ഇല് വച്ച് PO യെ രണ്ടായി ഭാഗിക്കുക,അതുപോലെ OR നെ മൂന്നായി ഭാഗിച്ചാല്‍ കിട്ടുന്ന  R നു അടുത്തുള്ള ബിന്ദുവാണ് T .PR  നു ലംബമായി TQ വരയ്ക്കുക.TQ വിനു തുല്യമായ്‌ RS എന്നാ ഞാണ്ണ്‍ വരയ്ക്കുക.P യെയും S നെയും തമ്മില്‍ യോജിപ്പിക്കുക.RS നു സമാന്തരമായി  OM ഉം ON  ഉം വരയ്ക്കുക.PM നു തുല്യമായി  PK എന്നാ ഞാണ്ണ്‍ വരയ്ക്കുക. MN നു തുല്യമായി PL എന്നാ സ്പര്‍ശരേഖ വരയ്ക്കുക .RL,RK,KL എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.RC=RH എന്നെടുത്ത്‌ RK യില്‍ C   അടയാളപ്പെടുത്തുക.  KL നു സമാന്തരമായി CD വരയ്ക്കുക.
ചിത്രത്തില്‍ നിന്നും ത്രികോണം PSR, PQR എന്നിവ മട്ട ത്രികൊനങ്ങലലാണ്.പൈതഗോരുസ്‌ സിധാന്തപ്രകാം
PQ2+QR2=PR2
PQ2+QR2=(2r)2...................1
PQ2-QT2=PT2
PQ2-QT2=(r+2r/3)2=(5r/3)2...................2
QR2-TQ2=TR2
QR2-TQ2=(r/3)2...................3
2-3 =>PQ2-QR2=24/9 r2
4+1=>2PQ2=60/9 r2
PQ=    √30/3 r
 QR=  √ 6/3 r
TQ=   √ 5/3 r
ചിത്രത്തില്‍ നിന്നും PS2+SR2=PR2
PS=  √ 31/3 r
ത്രികോണം PSR പരിഗണിക്കുക.
SR,NT,MO സമന്തരങ്ങലാണ്.
<RSN = <RNM = <OMP
<P= <P = <P
അതായത്‌ ത്രികോണം PMO,PSR സദ്ര്ശങ്ങലാണ്.
PS/PM =PR/PO =>2r/r=   (√31/3) r /PM
PM = √ 31/6  r
ത്രികോണം PNT,PSR സദ്രിഷങ്ങളാണ്.
PR/PT = PS/PN => 2r/(5r/3 ) =   (√31/3) r /PN
PN = 5   √31/18 r
 ചിത്രത്തില്‍ നിന്നും MN=   √ 31/9 r
എന്നാല്‍  PL=MN,കൂടാതെ <PRL=90 ഡിഗ്രീ
ത്രികോണം PRL ഇല് നിന്നും
RL2= PL2+PR2 => MN2+(2r)2
RL2 = 355/81 r2
RL =   √ 355/9 r
ചിത്രത്തില്‍ നിന്നും PM = PK =   √ 31/6 r,<K = 90
PK2 + KR2 =PR2
RK =  √ 113/6 r
ത്രികോണം RLK പരിഗണിച്ചാല്‍,DC സമാന്തരം  LK, <L = <D,<K = <C,<R = <R
അതായത്‌ ത്രികോണം RLK ,RDC എന്നിവ സദ്രിശങ്ങളാണ്.
LR/DR = KR/CR => DR =   √ (355/113)  r
DRവശമായി വരുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണം  DR2=355/113 r2
പക്ഷെ 355/113=3.14159922
=>DR2 = 3.14......r2
=>        = വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണം

ഇത് ഞാന്‍ കുത്തി ഇരുന്നു കണ്ടുപിടുച്ച്ച് രീതിയാണ്‌,ചിലപ്പോള്‍ ഇതിനെക്കാള്‍ എളുപ്പത്തില്‍ രാമാനുജന്റെ ഈ കണ്ടുപിടിത്തം തെളിയിക്കാന്‍ പട്ടിയീക്കം,എന്തായാലും നിങ്ങളുടെ അഭിപ്രായങ്ങള്‍ പന്കുവേക്കണേ.........


3 comments:

മനു - Manu പറഞ്ഞു...

"പക്ഷെ 355/113=3.14159922"

But it is not exactly pi. Just a very close approximation.

If approximations are allowed, do we have to go through all these trouble? Can’t we just take the value of pi to sufficient precision and find it’s root to substitute in the formula?

അരുണ് പറഞ്ഞു...

അങ്ങനെ അല്ല ഞാന്‍ പറഞ്ഞത്,നമുക്ക്‌ ഒരിക്കലും
വൃത്തത്തിന്റെ തുല്യ വിസ്തീര്‍ണമുള്ള ഒരു
ചതുരത്തെ നിര്‍മിക്കുവാന്‍ പറ്റില്ല.കാരണം പൈ
യുടെ വില കൃത്ത്യമായി അറിയില്ല എന്നത് തന്നെ.
പക്ഷെ രാമാനുജന്‍ പറഞ്ഞത് പ്രകാരം 355/113=
3.14159922,ഇത പൈ യുടെ വിലയ്ക്ക്‌ (3.141592654....)അഞ്ചു സ്ഥാനം വരെ
ശരിയാണ്.അതായത്‌ ചെറിയ വൃത്തങ്ങള്‍ക്ക്
വിസ്തീര്‍ണത്തിലെ വ്യത്യാസം കുറവായിരിക്കും
എന്നാണ്.

Ahmed Bathisha. NA പറഞ്ഞു...

വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീർണം കാണാൻ നല്ല ശൈലി യായി ഞാൻ മനസ്സിലാക്കുന്നത് (22/7)×r×r

അതായത് പൈ യുടെ സ്ഥാനത്തു 22 harikkanam 7 എന്ന് ചെയ്താൽ മതിയാകുമെന്നാണ്

ഒരു അഭിപ്രായം പോസ്റ്റ് ചെയ്യൂ