r ആരവും O കേന്ദ്രവുമായി വൃത്തം PQR വരയ്ക്കുക.PR ഇതിന്റെ വ്യാസമാണ്.H ഇല് വച്ച് PO യെ രണ്ടായി ഭാഗിക്കുക,അതുപോലെ OR നെ മൂന്നായി ഭാഗിച്ചാല്‍ കിട്ടുന്ന R നു അടുത്തുള്ള ബിന്ദുവാണ് T .PR നു ലംബമായി TQ വരയ്ക്കുക.TQ വിനു തുല്യമായ്‌ RS എന്നാ ഞാണ്ണ്‍ വരയ്ക്കുക.P യെയും S നെയും തമ്മില്‍ യോജിപ്പിക്കുക.RS നു സമാന്തരമായി OM ഉം ON ഉം വരയ്ക്കുക.PM നു തുല്യമായി PK എന്നാ ഞാണ്ണ്‍ വരയ്ക്കുക. MN നു തുല്യമായി PL എന്നാ സ്പര്‍ശരേഖ വരയ്ക്കുക .RL,RK,KL എന്നിവ യോജിപ്പിക്കുക.RC=RH എന്നെടുത്ത്‌ RK യില്‍ C അടയാളപ്പെടുത്തുക. KL നു സമാന്തരമായി CD വരയ്ക്കുക.
ചിത്രത്തില്‍ നിന്നും ത്രികോണം PSR, PQR എന്നിവ മട്ട ത്രികൊനങ്ങലലാണ്.പൈതഗോരുസ്‌ സിധാന്തപ്രകാം
PQ2+QR2=PR2
PQ2+QR2=(2r)2...................1
PQ2-QT2=PT2
PQ2-QT2=(r+2r/3)2=(5r/3)2...................2
QR2-TQ2=TR2
QR2-TQ2=(r/3)2...................3
2-3 =>PQ2-QR2=24/9 r2
4+1=>2PQ2=60/9 r2
PQ= √30/3 r
QR= √ 6/3 r
TQ= √ 5/3 r
ചിത്രത്തില്‍ നിന്നും PS2+SR2=PR2
PS= √ 31/3 r
ത്രികോണം PSR പരിഗണിക്കുക.
SR,NT,MO സമന്തരങ്ങലാണ്.
<RSN = <RNM = <OMP
<P= <P = <P
അതായത്‌ ത്രികോണം PMO,PSR സദ്ര്ശങ്ങലാണ്.
PS/PM =PR/PO =>2r/r= (√31/3) r /PM
PM = √ 31/6 r
ത്രികോണം PNT,PSR സദ്രിഷങ്ങളാണ്.
PR/PT = PS/PN => 2r/(5r/3 ) = (√31/3) r /PN
PN = 5 √31/18 r
ചിത്രത്തില്‍ നിന്നും MN= √ 31/9 r
എന്നാല്‍ PL=MN,കൂടാതെ <PRL=90 ഡിഗ്രീ
ത്രികോണം PRL ഇല് നിന്നും
RL2= PL2+PR2 => MN2+(2r)2
RL2 = 355/81 r2
RL = √ 355/9 r
ചിത്രത്തില്‍ നിന്നും PM = PK = √ 31/6 r,<K = 90
PK2 + KR2 =PR2
RK = √ 113/6 r
ത്രികോണം RLK പരിഗണിച്ചാല്‍,DC സമാന്തരം LK, <L = <D,<K = <C,<R = <R
അതായത്‌ ത്രികോണം RLK ,RDC എന്നിവ സദ്രിശങ്ങളാണ്.
LR/DR = KR/CR => DR = √ (355/113) r
DRവശമായി വരുന്ന സമചതുരത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണം DR2=355/113 r2
പക്ഷെ 355/113=3.14159922
=>DR2 = 3.14......r2
=> = വൃത്തത്തിന്റെ വിസ്തീര്‍ണം
ഇത് ഞാന്‍ കുത്തി ഇരുന്നു കണ്ടുപിടുച്ച്ച് രീതിയാണ്‌,ചിലപ്പോള്‍ ഇതിനെക്കാള്‍ എളുപ്പത്തില്‍ രാമാനുജന്റെ ഈ കണ്ടുപിടിത്തം തെളിയിക്കാന്‍ പട്ടിയീക്കം,എന്തായാലും നിങ്ങളുടെ അഭിപ്രായങ്ങള്‍ പന്കുവേക്കണേ.........
